Lernauftrag 20: Belasteter Spannungsteiler
Hier findest du die Aufgaben ohne Lösungen.
Aufgabe 1
Lies im Fachbuch die Seite 55/56 und arbeite heraus, was den belasteten Spannungsteiler vom unbelasteten Spannungsteiler unterscheidet.
Der unbelastete Spannungsteiler ist im vorherigen Lernauftrag näher beschrieben. Ein Spannungsteiler ist belastet, wenn ein Verbraucher \(R_L\) angeschlossen ist und somit ein Strom \(I_L\) dem Spannungsteiler entnommen wird.
Der Teilwiderstand \(R_2\) und der Lastwiderstand \(R_L\) liegen parallel zueinander. Entsprechend fällt über beide Widerstände dieselbe Spannung \(U_2\) ab und der Strom teilt sich umgekehrt proportional zu den Widerstandswerten auf, es gilt also
\(\frac{I_2}{I_L}=\frac{R_L}{R_2}\)
Die gemeinsame Spannung \(U_2\) ergibt sich aus
\(U_2=\frac{R_{2||L}}{R_1+R_{2||L}}\cdot U_E\)
wobei die \(R_{2||L}\) die Parallelschaltung der Widerstände \(R_2\) und \(R_L\) ist, also
\(R_{2||L}=\frac{R_2\cdot R_L}{R_2+R_L}\)
Aufgabe 2
Die Glühlampen der Schaltung nehmen bei einer Spannung von \(U_1=U_2=115\ V\) die Lesitungen \(P_1=60\ W\) und \(P_2=100\ W\) auf. Der Widerstand \(R\) soll so gewählt werden, dass bei \(U=230\ V\) beide Glühlampen die Bedingung \(U_1=U_2\) erfüllen. Berechne wie groß \(R\) sein muß.
geg: \(U_1=U_2=115\ V\), \(P_1=60\ W\), \(P_2=100\ W\), \(U=230\ V\)
ges: \(R\)
Lös:
Verdeutlich wir uns zuerst, daß der Strom du Lampe 2 sich zusammensetzt aus dem Strom durch Lampe 1 addiert mit dem Strom durch den Widerstand R.
=> \(I_1+I_R=I_2\)
Ferner wissen wir, daß über Lampe 1 und den Widerstand R die Spannung \(U_1=115\ V\) abfallen soll, da sie parallel geschaltet sind. Multiplizieren wir auf beiden Seiten des bisherigen Gleichung \(U_1\) hinzu und erhalten
\(U_1\cdot(I_1+I_R)=U_1\cdot I_2\)
da \(U_1 = U_2\) können wir daraus
\(U_1\cdot (I_1+I_R) = U_2\cdot I_2\)
machen und nutzen nun die Leistungsgleichung \(P=U\cdot I\) und erhalten
\(P_1 + U_1\cdot I_R=P_2\)
Da wir den Strom \(I_R\) nicht kennen, nutzen wir das Ohmsche Gesetz und ersetzen \(I_R=\frac{U_1}{R}\) und erhalten
\(P_1+\frac{U_1^2}{R}=P_2\)
Durch Umstellen auf \(R\) erhalten wir den gesuchten Widerstand als
\(R=\frac{U_1^2}{P_2-P_1}=\frac{(115\ V)^2}{(100-60)W}=331\ \Omega\)
Antw: Der Widerstand \(R\) muß \(331\ \Omega\) groß sein.
Aufgabe 3
Die Eingangsspannung \(U=100\ V\) wird in die Schaltung eingespeist. Die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) ergeben in Summe den Wert \(400\ \Omega\). Ausgangsseitig ist ein Belastungswiderstand \(R_L=800\ \Omega\) angeschlossen, an welchem die Spannung \(U_2=40\ V\) liegen soll. Berechne wie groß die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) sein müssen.
geg: \(U=U_A=100\ V\), \(R_1+R_2=400\ \Omega\), \(R_L=800\ \Omega\), \(U_2=40\ V\)
ges: \(R_1\), \(R_2\)
Lös:
Berechnen wir zuerst den Kurzschlussstrom \(I_K\). Dieser fließt, wenn der Spannungsteiler im Leerlauf ist, also keine Last \(R_L\) an ihm hängt und Strom entnimmt. Aus dem ohmschen Gesetz \(U=R\cdot I\) folgt für diesen Fall
\(U_A=(R_1+R_2)\cdot I_K\)
\(\Leftrightarrow I_K=\frac{U_A}{R_1+R_2}=\frac{100\ V}{400\ \Omega}=0,25\ A\)
Sobald nun die Last \(R_L\) angeschlossen wird, entnimmt sie dem Spannungsteiler Strom. Diesen Strom können wir berechnen, da wir die Spannung \(U_2=40\ V\) über den Widerstand \(R_L=800\ \Omega\) kennen:
\(U_2=U_L=R_L\cdot I_L\)
\(\Leftrightarrow I_L=\frac{U_2}{R_L}=\frac{40\ V}{800\ \Omega}=0,05\ A\)
In parallelen Pfaden teilt sich der Strom auf. Demzufolge geht durch den Pfad des Lastwiderstands \(R_L\) der Strom \(I_L=0,05\ A\) und es bleibt für den Pfad über \(R_2\) der Strom \(I_2=I_K-I_L=0,25\ A-0,05\ A=0,2\ A\) übrig.
Mit dem Strom \(I_2\) und der Spannung \(U_2\) läßt sich nun der Widerstand \(R_2\) bestimmen zu
\(U_2=R_2\cdot I_2\)
\(\Leftrightarrow R_2=\frac{U_2}{I_2}=\frac{40\ V}{0,2\ A}=200\ \Omega\)
Somit ergibt sich \(R_1\) zu \(R_1=400\ \Omega-R_2=400\ \Omega-200\ \Omega=200\ \Omega\).
Antw: Die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) müssen beide \(200\ \Omega\) groß sein.
Aufgabe 4
Die Spannungsteilerschaltung wird mit einer Eingangsspannung \(U\) betrieben und hat als Widerstandswerte \(R_1=120\ \Omega\) und \(R_2=360\ \Omega\). Beim Anschließen des Belastungswiderstandes \(R_L\) soll sich die Ausgangsspannung \(U_A\) höchstens um \(10\%\) ändern. Berechne wie groß der Belastungswiderstand \(R_L\) mindestens sein muß.
geg: \(R_1=120\ \Omega\), \(R_2=360\ \Omega\), Änderung von \(U_A\) um höchsten \(10\%\)
ges: Mindestgröße von \(R_L\)
Lös:
Da wir für \(U\) und \(U_A\) keine Zahlenwerte kennen, interessiert uns nur das prozentuale Verhältnis der Spannungen zueinander. Betrachten wir zuerst welchen prozentualen Anteil \(U_A\) an \(U\) im unbelasteten Zustand hat:
\(\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{360\ \Omega}{120\ \Omega+360\ \Omega}=0,75=75\%\)
Wir ersetzen nun \(R_2\) durch die Parallelschaltung von \(R_2\) mit \(R_L\), also
\(R_{2||L}=\frac{R_2\cdot R_L}{R_2+R_L}=\frac{360\ \Omega\cdot R_L}{360\ \Omega+R_L}\)
Erinnern wir uns, daß der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung von Widerständen immer kleiner ist, als der kleinste beteiligte Widerstand. Somit darf klar sein, daß der Widerstand \(R_{2||L}\) immer maximal \(360\ \Omega\) groß werden kann, gegeben durch den Widerstand \(R_2\). Gesucht wird im Folgenden also ein Widerstand \(R_L<360\ \Omega\), so daß der prozentuale Anteil von \(U_A\) an \(U\) mindestens \(65\%\) groß ist. Also Formel ausgedrück ist dies
\(\frac{R_{2||L}}{R_1+R_{2||L}}\geq65\%\)
Uns reicht es den Widerstand zu finden wo genau \(65\%\) erreicht werden:
\(\frac{R_{2||L}}{R_1+R_{2||L}}=0,65=65\%\)
\(\Leftrightarrow R_{2||L}=0,65\cdot(R_1+R_{2||L})\)
\(\Leftrightarrow R_{2||L}=0,65\cdot R_1+0,65\cdot R_{2||L}\)
\(\Leftrightarrow R_{2||L}-0,65\cdot R_{2||L}=0,65\cdot R_1\)
\(\Leftrightarrow 0,35\cdot R_{2||L}=0,65\cdot R_1\)
\(R_{2||L}=\frac{0,65}{0,35}\cdot R_1=222,86\ \Omega\)
Nachdem wir nun wissen wie groß der gemeinsame Widerstand der Parallelschaltung \(R_{2||L}\) ist, braucht es nur noch, die beiden Widerstände zu separieren. Ausgehend von
\(R_{2||L}=\frac{R_2\cdot R_L}{R_2+R_L}\)
\(\Leftrightarrow R_{2||L}(R_2+R_L)=R_2\cdot R_L\)
\(\Leftrightarrow R_L= \frac{R_{2||L}}{R_2}(R_2+R_L)\)
\(\Leftrightarrow R_L=R_{2||L}+ \frac{R_{2||L}}{R_2}\cdot R_L\)
\(\Leftrightarrow R_L-\frac{R_{2||L}}{R_2}\cdot R_L=R_{2||L}\)
\(\Leftrightarrow{R_L\cdot\left(1-\frac{R_{2||L}}{R_2} \right)}=R_{2||L}\)
\(\Leftrightarrow R_L=\frac{R_{2||L}}{1-\frac{R_{2||L}}{R_2}}=\frac{222,86\ \Omega}{1-\frac{222,86\ \Omega}{360\ \Omega}}=\frac{222,86\ \Omega}{1-0,62}=\frac{222,86\ \Omega}{0,38}=586,5\ \Omega\)
Antw: Der Lastwiderstand \(R_L\) muß mindestens \(586,5\ \Omega\) groß sein, damit sich die Ausgangsspannung \(U_A\) um maximal \(10\%\) verändert.
Probe
\(R_1 = 120\ \Omega\)
\(R_2=360\ \Omega\)
\(R_L=586,5\ \Omega\)
\(\Rightarrow R_{2||L}=\frac{360\ \Omega\cdot 586,5\ \Omega}{360\ \Omega+586,5\ \Omega}=223,1\ \Omega\)
\(\Rightarrow U_A=\frac{R_{2||L}}{R_1+R_{2||L}}=\frac{223,1\ \Omega}{120\ \Omega+223,1\ \Omega}=0,65=65\%\) ✅